Three-dimensional Extremely Short Optical Pulses in Graphene with Inhomogeneities

Abstract

Розглядаються рівняння Максвелла для електромагнітного поля, що поширюється у домішковому графені з урахуванням просторової неоднорідності. Під гетерогенністю мається на увазі наявність області підвищеної електронної щільності. Особливо важливим випадком є неоднорідність, яка обумовлена ділянками підвищеної концентрації електронів провідності внаслідок наявності домішок. Згідно з цим фактом представляється доцільним дослідити вплив такої неоднорідності на поширення імпульсу в домішковому графені. Внаслідок різноманітності домішок і характеру їх взаємодії з підсистемою графена у таких задачах можливі різні підходи. Один із них полягає у розгляді розсіяння балістичних електронів у графені домішками. Домішки вважаються відповідальними за виникнення розупорядкування і слабкої локалізації. У цьому випадку вони виходять за межі самоузгодженого наближення Борна і застосовується підхід до перенормування. У даній роботі електронний спектр для підсистеми графена взято з підходу групи перенормування, широко використовуваного у квантовій теорії поля, коли перехід від ділянок з меншою енергією до ділянок з більшою енергією обумовлений зміною масштабу системи. Основна ідея полягає у тому, що швидкість Фермі перенормовується і починає залежати від енергії електронів логарифмічно. У рамках напівкласичного підходу отримано ефективне рівняння для векторного потенціалу електромагнітного поля, яке розв’язане чисельно. Виявлено, що тривимірні надзвичайно короткі оптичні імпульси розповсюджуються із порушеною формою імпульсу. При цьому введення просторової неоднорідності щільності заряду у середовище дозволяє зменшити втрати імпульсу в амплітуді. Досліджено вплив просторових параметрів неоднорідності на картину розповсюдження надзвичайно короткого оптичного імпульсу. Показано, що глибина і ширина просторової неоднорідності щільності заряду не мають суттєвого впливу на форму імпульсу.

We consider the Maxwell`s equations for an electromagnetic field, which propagates in impurity graphene with taking into account the spatial inhomogeneity. By heterogeneity, we mean the presence of a region of increased electron density. A particularly important case is inhomogeneity due to areas of increased concentration of conduction electrons due to the presence of impurities. According to this fact, it seems appropriate to investigate the impact of such inhomogeneity on the pulse propagation in impurity graphene. Due to the diversity of impurities and the nature of their interaction with the graphene subsystem, different approaches are possible in such problems. One of these approaches is to consider the scattering of ballistic electrons in graphene by impurities. Impurities are considered responsible for the occurrence of a disorder and a weak localization. In this case, they go beyond the limits of the selfconsistent Born`s approximation and the renormalization-group approach is applied. In this paper, the electronic spectrum for the graphene subsystem is taken from the approach of the renormalization group, widely used in quantum field theory, when the transition from areas with lower energy to areas with more energy is caused by a change in the scale of consideration of the system. The main idea is that the Fermi velocity is renormalized, which begins to depend on the electron energy in a logarithmic way. Within the framework of the semi-classical approach, an effective equation for the vector-potential of the electromagnetic field is obtained and solved numerically. It is observed that three-dimensional extremely short optical pulses propagate unstablely with disturbed pulse shape. In this case, the introduction of a spatial inhomogeneity of the charge density into the medium makes it possible to reduce the pulse loss in the amplitude. The influence of the spatial parameters of the inhomogeneity on the propagation pattern of an extremely short optical pulse is also studied. It is shown that the depth and the width of the spatial inhomogeneity of the charge density do not have a significant impact on the pulse shape.